Ämne: Räknehjälp!!! Hur mycket kostar det att höja framledningstemp??

[Mats Bengtsson]

Sedan till detta med medelvärde, där kan jag inte följa dig, så låt oss förstå mer av den delen, jag är inte säker på vad du vill kompensera för, möjligen för att jag var otydlig på vilken viktning som ingick. Första siffran jag gav, 1.6 grader är som du säger inget annat än ett medelvärde, det är ett lätt värde att få fram, men inte särksilt bra (summa grader genom summa dagar). Andra siffran däremot, är inte ett tidsmässigt vägt genomsnitt, det är ett uppvärmingsbehovsmässigt vägt medelvärde. Om vi är överens om att man kan approximera husets effektbehov som ett linjärt växande behov med sjunkande yttertemperatur, vilket är det antagande som ligger bakom användningen av graddagar, så är detta matematiskt sett rätt viktning (effektbehovet blir för varje dag linjens lutning gånger antalet grader som temperaturen understiger den temperatur där huset behöver värme gånger de olinjära effektfaktorerna i värmepumpen).

Håller med om förutsättningen, alltså uppvärmningsbehov proportionellt mot graddagar. Men nu är det inte uppvärmningsbehovet i sig det handlar om utan skillnaden i uppvärmningsbehov när huset värms med värmepump.

Jag resonerar så här: Uppvärmningsbehovet är proportionellt mot graddagsvärdet. Därtill kommer att skillnaden i COP påverkas av temperaturskillnaden mellan värmebärarna i de olika fallen. Temperaturskillnaden är proportionell uppvärmningsbehovet och alltså mot graddagsvärdet. Vill man beräkna den COP-relevanta temperaturskillnaden mellan systemen för två dagar där man dag 1 har 100 % av uppvärmningsbehovet vid DUT och 100 % av temperaturskillnaden mellan golvvärmesystemen och dag 2 25 % blir medelvärdet av (100x100 + 25x25)/(100+25)  = 85 % av temperaturskillnaden vid DUT. Däremot blir ju medelvärdet av värmebehovet (100+25)/2 = 62,5 %.

Det har inget att göra med någon fördelningsfunktion för utetemperaturerna. Det är mer analogt med att impulsen är proportionell mot hastigheten medan kinetiska energien är proportionell mot kvadraten mot hastigheten. Vill man beräkna ett medelvärde på kinetiska energin för två kroppar med olika fart går det inte att räkna med medelvärdet på hastigheten. Inte helt rätt analogi men jag hoppas det ändå är klart vad jag menar. Sen hoppas jag också att jag har tänkt rätt.

Jag förstod förra gången hu du menar att det räknas, även om ditt exempel den här gången räknar helt annorlunda än du skrev då (den gången summa temperaturskillnader i kvadrat, i detta exempel summa temoeraturer i kvadrat). Men jag lyckas inte förstå vad som ligger bakom tanken på att kalkylmetoden skulle ge ett bra närmevärde för det vi jagar. Metoden är för avancerad för att bara vara en slump, så dess användningsområde intresserar mig fortfarande. Dock, jag tror mig om att kunna visa att med förutsättningen vi är överens om, och den info vi redan har, ger den ett sämre närmevärde än den väg jag föreslog (som inom ramen för de förenklingar vi antagit i övrigt räknar exakt, dock skall vi veta att förenklingarna finns och skapar felkällor). Det försöket gör jag nedan. Det tar lite utrymme, ledsen för det. Riskerar nog dessutom att hamna utanför allmänintresset, frånsett min tro att mitt närmevärde är bättre och bara lite under webbsidan jag hänvisade till. Rickards siffra är bättre men leverantörsberoende. Din metod tror jag systematiskt hamnar alldeles för högt med tanke på de faktorer vi redan har tillgång till. Ändå fortfarande intresserad av att förstå mer om när den kallkylmetod du nämnde passar in/brukar användas.

Du har använt två dagar, 100 och 25 procent, låt oss använda det framåt med. Men det jag börjar med är att se båda fallen var för sig, tankemässigt tar jag den långa vägen, först räknar vi ut vad som behövs med den första förutsättningen (hög framledning), sedan den andra (låg framledning) och slutligen tar vi skillnaden mellan dem. När vi gör det sista, tittar vi på hur vi kan göra det enklare för oss, men inte innan dess, eftersom vi först måste veta hur vi räknar fallen var för sig innan vi kan se hur vi enkelt kan räkna på skillnaden. Har provat att klippa in all den texten som en wordfil, eftersom den är för svår att skriva med subscripts och webbinterfacet.

Ändrat: Fick inte med all text, la till en till jpg fil, hoppas de kommer i rätt ordning.

--- Mats ---

[Roland]

Så här resonerar jag: Effekten pumpen levererar är proportionell mot uppvärmningsbehovet och alltså också mot temperaturskillnaden mellan systemen. Det tycker jag bör vara självklart. Finns inget uppvärmningsbehov är skillnaden noll. Vid DUT är skillnaden i framledningstemperatur, jag kallar den för DT i brist på förmåga att få fram ett deltatecken, maximal, 8 eller 10 grader. I och med att DT är proportionell mot värmebehovet går det att använda DT som ett mått på värmepumpens levererade effekt som jag beteckar med P.

P = k x DT där k är en konstant som bestäms av husets värmebehov och golvvärmesystemet.

Pumparna har olika COP för låg- resp. högtemperaturvarianten, COP_L och COP_H. Jag antar för enkelhetens skull att COP varierar linjärt med framledningstemperaturen, vilket innebär COP_L = COP_H x (1 + CxDT). Det skulle vara mer korrekt att räkna med t.ex. COP_L = COP_H x 1,025DT men är DT mindre än 8 grader blir det ingen större skillnad.
Erforderlig eleffekt, som jag betecknar El, blir naturligtvis

El = P/COP 

Det är skillnaden i elförbrukning mellan hög- och lågtemperaturvarianten som är intressant, dvs. El_H - El_L.

El_H - El_L = P/COP_H - P/COP_L   = k x DT (1/ COP_H - 1/COP_L)  = k x DT (COP_L- COP_H)/ (COP_H x
COP_L)

Då COPL = COP_H x (1 + C x DT) går det att förenkla

El_H - El_L = k x DT (COP_H x (1 + C x DT) - COP_H)/ (COP_H x COP_L) = k x DT x C x DT/COP_L =
k x C x (DT)²/ COP_L

Alltså skillnaden i eleffekt till värmepumpen är proportionell mot kvadraten på temperaturskillnaden mellan golvvärmesystemen. Då sambandet gäller för erforderlig eleffekt oberoende av värdet på DT måste det också gälla för summan av effekterna alltså även för skillnaden i årsförbrukning.

Ändring: Lade till en parentes som saknades.

[Mats Bengtsson]

Så här resonerar jag: Effekten pumpen levererar är proportionell mot uppvärmningsbehovet och alltså också mot temperaturskillnaden mellan systemen. Det tycker jag bör vara självklart. Finns inget uppvärmningsbehov är skillnaden noll. Vid DUT är skillnaden i framledningstemperatur, jag kallar den för DT i brist på förmåga att få fram ett deltatecken, maximal, 8 eller 10 grader. I och med att DT är proportionell mot värmebehovet går det att använda DT som ett mått på värmepumpens levererade effekt som jag beteckar med P.

P = k x DT där k är en konstant som bestäms av husets värmebehov och golvvärmesystemet.

Pumparna har olika COP för låg- resp. högtemperaturvarianten, COP_L och COP_H. Jag antar för enkelhetens skull att COP varierar linjärt med framledningstemperaturen, vilket innebär COP_L = COP_H x (1 + CxDT). Det skulle vara mer korrekt att räkna med t.ex. COP_L = COP_H x 1,025DT men är DT mindre än 8 grader blir det ingen större skillnad.
Erforderlig eleffekt, som jag betecknar El, blir naturligtvis

El = P/COP 

Det är skillnaden i elförbrukning mellan hög- och lågtemperaturvarianten som är intressant, dvs. El_H - El_L.

El_H - El_L = P/COP_H - P/COP_L   = k x DT (1/ COP_H - 1/COP_L)  = k x DT (COP_L- COP_H)/ COP_H x
COP_L

Då COPL = COP_H x (1 + C x DT) går det att förenkla

El_H - El_L = k x DT (COP_H x (1 + C x DT) - COP_H)/ (COP_H x COP_L) = k x DT x C x DT/COP_L =
k x C x (DT)²/ COP_L

Alltså skillnaden i eleffekt till värmepumpen är proportionell mot kvadraten på temperaturskillnaden mellan golvvärmesystemen. Då sambandet gäller för erforderlig eleffekt oberoende av värdet på DT måste det också gälla för summan av effekterna alltså även för skillnaden i årsförbrukning.

Snyggt, enkelt och tydligt. Dessutom lyckades du hantera alla de där fruktansvärda "sub/sub" inom hakparenteser, imponerande bara det. Men faktum är att du får fram precis samma resultat som jag, frånsett att du dessutom lyckades bryta ut termen ur den sista nämnaren.

Det du slutar med är "k x C x (DT)²/ COP_L", jag tar det och delar upp det i två termer, (kxDT/COP_L)x(CxDT). Detta säger att skillnaden i effekt blir den ursprungligt nödvändiga effekten (kxDT/COP_L) multiplicerat med (CxDT) som är vår procentuella COP-förändring gånger vår framledningstemperaturförändring.

Alltså landar vi i att skillnaden i effekt beror på skillnaden i framledningstemperatur i kvadrat, men att om vi inte vill räkna ut den skillnaden från grunden, utan uttrycka den som en faktor gånger vad vi hade innan vi ändrade framledningstemperaturen skall vi multiplicera ursprungsbehovet med COP-faktorn per grad gånger framledningstemperaturskillnaden.

När vi gör det för alla dagar, det vill säga summerar alla dagar kan detta skrivas som COP-faktorn per grad (ditt C) gånger summan av alla skillnader i framledningstemperatur för alla dagar, vilket blir COP-faktorn gånger medelskillnad i framlendingstemperatur gånger antal dagar.

--- Mats ---

[Roland]

När vi gör det för alla dagar, det vill säga summerar alla dagar kan detta skrivas som COP-faktorn per grad (ditt C) gånger summan av alla skillnader i framledningstemperatur för alla dagar, vilket blir COP-faktorn gånger medelskillnad i framlendingstemperatur gånger antal dagar.

--- Mats ---

Det kan inte skrivas så. För det första så verkar det som om det DT som åtföljde konstanten C har försvunnit spårlöst. Även om  man kompletterar med DT så är resonemanget fel. Jag har försökt förklara varför i bifogade pdf-fil då det behövs beteckningar som inte finns att tillgå här.

Det är av samma orsak som ditt beräkningsprogram ger alltför höga värden på års-COP för luftvärmepumpar i och med att programmet, åtminstone verkar det så för mig, räknar med dygnsmedeltemperaturer utan att ta hänsyn till att temperaturen varierar under dygnet. I praktiken arbetar pumpen med sämst COP när effektbehovet under dygnet är som högst. Enligt programmet arbetar pumpen med en medeltemperatur.   

[Mats Bengtsson]

När vi gör det för alla dagar, det vill säga summerar alla dagar kan detta skrivas som COP-faktorn per grad (ditt C) gånger summan av alla skillnader i framledningstemperatur för alla dagar, vilket blir COP-faktorn gånger medelskillnad i framlendingstemperatur gånger antal dagar.

--- Mats ---

Det kan inte skrivas så. För det första så verkar det som om det DT som åtföljde konstanten C har försvunnit spårlöst. Även om  man kompletterar med DT så är resonemanget fel. Jag har försökt förklara varför i bifogade pdf-fil då det behövs beteckningar som inte finns att tillgå här.

Det är av samma orsak som ditt beräkningsprogram ger alltför höga värden på års-COP för luftvärmepumpar i och med att programmet, åtminstone verkar det så för mig, räknar med dygnsmedeltemperaturer utan att ta hänsyn till att temperaturen varierar under dygnet. I praktiken arbetar pumpen med sämst COP när effektbehovet under dygnet är som högst. Enligt programmet arbetar pumpen med en medeltemperatur.   

Nu gör du det svårt för mig, allt du skriver tyder på att du kan det här. Mitt problem är att jag inte lyckas se att DT saknas. Du hade i din slutformel med DT i kvadrat, jag har med DT gånger DT, det är samma sak. Du hade i din formel med C en gång, jag har med det en gång. Med din egen formel är effektbehovet för huset kxDT och Effekten som behövs med värmepump är P/COP, vilket blir kxDT/COP, vilket är exakt de tre termer jag satte till vänster från din formel. Det är och måste vara eforderlig effekt med värmepumpen. Kvar av alla dina termer blir CxDT, vilket jag satte i formeln till höger. Jag kna nte se ett C försvinna, och jag kan inte se ett DT försvinna. Du kan ju inte ha något emot att säåga att din formel var rätt, heller inte att DT i kvadrat kan skrivas som DT gånger DT och heller inte att man kan flytta termerna turordningsmössigt, och heller inte att man kan gruppera/ordna dem godtyckligt så länge allt vi pratar om är multiplikation och division.

Kan vi ta det stegvis tills jag förstår vad du anser försvann?

Visst måste (kxDT/COP_L)x(CxDT) vara exakt samma sak som k x C x (DT)2/ COP_L? Det vill säga det är exakt samma resultat vi pratar om, bara grupperat annorlunda?


--- Mats ---

[Mats Bengtsson]

Det är av samma orsak som ditt beräkningsprogram ger alltför höga värden på års-COP för luftvärmepumpar i och med att programmet, åtminstone verkar det så för mig, räknar med dygnsmedeltemperaturer utan att ta hänsyn till att temperaturen varierar under dygnet. I praktiken arbetar pumpen med sämst COP när effektbehovet under dygnet är som högst. Enligt programmet arbetar pumpen med en medeltemperatur.   

Den här borde jag kanske också ha kommenterat på en gång, men den punkten existerar oberoende av den andra frågan så jag tog den separat. Du har rätt i att programmet utgår från dygnsmedeltemperatur, och mycket riktigt leder det till en överskattning av COP, inte nämvärd under kallare dagar (då pumpen ändå går tidvis under hela dagen), men under varmare dagar kommer i verkligheten pumpen att systematiskt gå mest på de kalla delarna av dygnet och många gånger inte alls på de varma.

Det går att kompensera för detta i kalkylerna, men så länge man använder det för att jämföra effekten av två framledningstemperaturer genom att titta på skillnaderna mellan två resultat är det två systematiska fel som till mycket stor del tar ut varandra (eftersom programmet räknar dag för dag finns det ingen påverkan från diskussionerna om den matematiska termen).

--- Mats ---

[Ville Vessla]

Det är av samma orsak som ditt beräkningsprogram ger alltför höga värden på års-COP för luftvärmepumpar i och med att programmet, åtminstone verkar det så för mig, räknar med dygnsmedeltemperaturer utan att ta hänsyn till att temperaturen varierar under dygnet. I praktiken arbetar pumpen med sämst COP när effektbehovet under dygnet är som högst. Enligt programmet arbetar pumpen med en medeltemperatur.   

Den här borde jag kanske också ha kommenterat på en gång, men den punkten existerar oberoende av den andra frågan så jag tog den separat. Du har rätt i att programmet utgår från dygnsmedeltemperatur, och mycket riktigt leder det till en överskattning av COP, inte nämvärd under kallare dagar (då pumpen ändå går tidvis under hela dagen), men under varmare dagar kommer i verkligheten pumpen att systematiskt gå mest på de kalla delarna av dygnet och många gånger inte alls på de varma.

Det går att kompensera för detta i kalkylerna, men så länge man använder det för att jämföra effekten av två framledningstemperaturer genom att titta på skillnaderna mellan två resultat är det två systematiska fel som till mycket stor del tar ut varandra (eftersom programmet räknar dag för dag finns det ingen påverkan från diskussionerna om den matematiska termen).

--- Mats ---

Exempelvis 20-27/3 i år hade här i Östersund ett medel på -7.2 men det var -2 på dagen och -20 på natten så att räkna COP på ett dygnssnitt blir ju drastiskt fel på en luftvärmepump eftersom den nästan är en elpanna på natten och på dagen när solen lyser är det knappt ens ett värmebehov, COP dessa dagar är väl inte mycket över 1.

[Mats Bengtsson]

Det är av samma orsak som ditt beräkningsprogram ger alltför höga värden på års-COP för luftvärmepumpar i och med att programmet, åtminstone verkar det så för mig, räknar med dygnsmedeltemperaturer utan att ta hänsyn till att temperaturen varierar under dygnet. I praktiken arbetar pumpen med sämst COP när effektbehovet under dygnet är som högst. Enligt programmet arbetar pumpen med en medeltemperatur.   

Den här borde jag kanske också ha kommenterat på en gång, men den punkten existerar oberoende av den andra frågan så jag tog den separat. Du har rätt i att programmet utgår från dygnsmedeltemperatur, och mycket riktigt leder det till en överskattning av COP, inte nämvärd under kallare dagar (då pumpen ändå går tidvis under hela dagen), men under varmare dagar kommer i verkligheten pumpen att systematiskt gå mest på de kalla delarna av dygnet och många gånger inte alls på de varma.

Det går att kompensera för detta i kalkylerna, men så länge man använder det för att jämföra effekten av två framledningstemperaturer genom att titta på skillnaderna mellan två resultat är det två systematiska fel som till mycket stor del tar ut varandra (eftersom programmet räknar dag för dag finns det ingen påverkan från diskussionerna om den matematiska termen).

--- Mats ---

Exempelvis 20-27/3 i år hade här i Östersund ett medel på -7.2 men det var -2 på dagen och -20 på natten så att räkna COP på ett dygnssnitt blir ju drastiskt fel på en luftvärmepump eftersom den nästan är en elpanna på natten och på dagen när solen lyser är det knappt ens ett värmebehov, COP dessa dagar är väl inte mycket över 1.

Om du jämför med att räkna för varje timme blir det sämre, så är det, att räkna för varje timme blir sämre än att räkna för varje minut och så vidare också. Även blir det sämre jämfört med att ta hänsyn till spanet genom att föra in mintemperatur och maxtemperatur i kalkylen. Men man ska inte överskatta problemet, det är i gengäld lite bättre än att bara använda graddagar, som är mycket bättre än att bara använda DUT. Det är bara en fråga om var man har valt att begränsa upplösningen på detaljerna. Dygnsmedel är en rätt lagom förenkling av verkligheten. Att gå vidare till timmar för med sig att modellen många gånger har blivit för fin (det är inte alla dagar din värmepump kommer att vara igång alla timmar, utan man måste uppskatta vilken temperatur den i snitt kommer att se, och man kommer att hamna på att använda ett genomsnitt för dygnet).

De kalla månaderna är faktiskt inte ett tillfälle där den uppskattningen blir nämvärt systematiskt fel så länge du inte passerar antingen maxtemperaturen för värmepumpens framvatten, eller mintemperaturen för värmepumpens uppvärmning. När det är så kallt som ditt exempel kan du räkna med att du behöver värme runt hela dygnet. Det vill säga både när det är minus 20 och minus 2. I snitt behöver du värme när det är minus 7.2, det är det som gör att graddagar fungerar (som helt bygger på dygnsmedel). I verkligheten skulle det lika gärna kunna hända att din värmepump inte behövde vara igång just under den tid som det var minus 20, eller minus 2, eller ... Det finns ingen anledning att anta annat än att den har lika stor chans att vara igång under alla de temperaturer som finns inom intervallet, varför den i snitt kommer att ha den COP som motsvaras av dygnsmedel.

När den här upplösningen blir systematiskt fel är när det inte längre är troligt att värmepumpen kommer att vara igång på tider spridda över hela dygnet, till exempel om dagen är plus 17 och natten plus 8. Då kommer värmepumpen kanske att gå bara under natten, och under den tid den jobbar att se en temperatur på kanske i snitt 9 grader, men dygnsmedel kommer att vara kanske 12 grader.

Dock, felet blir som störst senvår och förhöst, och det är då minst mängd av årsvärmen används, så det relativa felet blir inte så stort. Det är det som gör att redan att bara arbeta med DUT räcker rätt långt, och att nöja sig med graddagar totalt utan att titta på individuella dagar räcker ännu längre.

--- Mats ---

[Ville Vessla]

När det är så kallt som ditt exempel kan du räkna med att du behöver värme runt hela dygnet. Det vill säga både när det är minus 20 och minus 2. I snitt behöver du värme när det är minus 7.2, det är det som gör att graddagar fungerar (som helt bygger på dygnsmedel). I verkligheten skulle det lika gärna kunna hända att din värmepump inte behövde vara igång just under den tid som det var minus 20, eller minus 2, eller ... Det finns ingen anledning att anta annat än att den har lika stor chans att vara igång under alla de temperaturer som finns inom intervallet, varför den i snitt kommer att ha den COP som motsvaras av dygnsmedel.

--- Mats ---

LV-pumpen kommer inte ha ett COP ens i närheten av dygnsmedel, går den inte under -15 kommer COP att vara 1 när den kanske skulle varit 2,5 räknat på medel men det är väl max 5-10 sådana här dagar per år vilket gör att jag håller med om att det inte spelar nån större roll.

[Roland]

Det är inte formlerna jag har problem med det är texten

Alltså landar vi i att skillnaden i effekt beror på skillnaden i framledningstemperatur i kvadrat, men att om vi inte vill räkna ut den skillnaden från grunden, utan uttrycka den som en faktor gånger vad vi hade innan vi ändrade framledningstemperaturen skall vi multiplicera ursprungsbehovet med COP-faktorn per grad gånger framledningstemperaturskillnaden.

När vi gör det för alla dagar, det vill säga summerar alla dagar kan detta skrivas som COP-faktorn per grad (ditt C) gånger summan av alla skillnader i framledningstemperatur för alla dagar, vilket blir COP-faktorn gånger medelskillnad i framlendingstemperatur gånger antal dagar.

I första stycket finns DT med i kvadrat då ursprungsbehovet är proportionellt mot DT och framledningstemperaturskillnaden, som ju är DT, nämns uttryckligt. Inget problem där. Texten stämmer med formlerna.

I andra stycket står det " COP-faktorn per grad (ditt C) gånger summan av alla skillnader i framledningstemperatur för alla dagar". Det tolkar jag som C gånger integralen av DT med avseende på tiden. Konstanten C står där ensam och övergiven av DT. Hade det stått "C gånger DT gånger summan av alla ..... " hade det inte varit något problem. Problemet hade då kommit efter kommatecknet då det då inte går att använda medelskillnaden i framledningstemperatur i beräkningen av skäl som jag redogör för i pdf-filen i mitt tidigare inlägg. 

Vad gäller beräkningsprogrammet så består inte problemet i om det är kalla eller varma dagar. Problemet är att om temperaturen under dygnet varierar ger programmet ett för högt värde på medel-COP för det dygnet för luftvärmepumpen jämfört med bergvärmepumpen. Luftvärmepumpen kommer precis som Ville Vessla skriver att leverera en större del av husets värmebehov under de delar av dygnet när det är som kallast. Värmebehovet är ökar ju med temperaturskillnaden inne-ute.

Dessutom kommer det ibland att hända att pumpen behöver tillsatsel under den kallaste delen av dygnet trots att dygnsmedeltemperaturen ligger över den temperatur pumpen klarar utan tillsats men det är ett separat fenomen.

Användningen av dygnsmedeltemperatur i stället för en temperaturfördelningskurva är en av de faktorer som gör att programmet för en luftvärmepump i en normalvilla ger en besparing som är nästan 2000 kr/år större än vad NIBE:s program ger.

I verkligheten skulle det lika gärna kunna hända att din värmepump inte behövde vara igång just under den tid som det var minus 20, eller minus 2, eller ... Det finns ingen anledning att anta annat än att den har lika stor chans att vara igång under alla de temperaturer som finns inom intervallet, varför den i snitt kommer att ha den COP som motsvaras av dygnsmedel.

Håller inte med om det. Utomhusgivaren i kombination med reglersystemet ser till att hålla framledningstemperaturen på en högre nivå när det är kallt ute. Högre framledningstemperatur = större värmeavgivning från radiatorerna = värmepumpen går oftare. Alla som loggar sin pump kan verifiera att pumpen går mer nattetid och att framledningstemperaturen då är högre.  Undantaget är december och början av januari när det är mulet väder. Skillnaden mellan natt- och dagtempertur brukar vara liten då.

En bergvärmepump arbetar med en köldbärartemperatur som är nästan konstant under dygnet.  Borrhålets tröghet vad gäller värmeöverföringen gör att köldbärarens temperaturvariation under ett dygn blir avsevärt mindre än variationerna i uteluftens temperatur.

[Mats Bengtsson]

Det är inte formlerna jag har problem med det är texten

Alltså landar vi i att skillnaden i effekt beror på skillnaden i framledningstemperatur i kvadrat, men att om vi inte vill räkna ut den skillnaden från grunden, utan uttrycka den som en faktor gånger vad vi hade innan vi ändrade framledningstemperaturen skall vi multiplicera ursprungsbehovet med COP-faktorn per grad gånger framledningstemperaturskillnaden.

När vi gör det för alla dagar, det vill säga summerar alla dagar kan detta skrivas som COP-faktorn per grad (ditt C) gånger summan av alla skillnader i framledningstemperatur för alla dagar, vilket blir COP-faktorn gånger medelskillnad i framlendingstemperatur gånger antal dagar.

I första stycket finns DT med i kvadrat då ursprungsbehovet är proportionellt mot DT och framledningstemperaturskillnaden, som ju är DT, nämns uttryckligt. Inget problem där. Texten stämmer med formlerna.

Ok, bra, då förstår jag hur långt vi är överens, vilket egentligen är väldigt långt, vi är överens om formeln för skillnaden i använd effekt för en ensam "tidsenhet" mellan de två framledningstemperaturerna. Vi är överens om att för at få totalen av fler "tidsenheter" skall dessa dagliga faktorer multipliceras och sedan summeras till tidigare dagar. För mig är inte den viktigaste frågan att bli överens om den exakta formeln för hur denna summa sedan uttrycks matematiskt, eftersom jag räknar per dag och summerar alla dagar. För mig är den viktigaste frågan att bli överens om att om man tittar på ursprungligt behövd effekt och sedan justerar denna med en faktor som beror på framledningsskillnaden blir detta en faktor som är principiellt linjär mot skillnaden i temperatur, inte kvadratisk mot skillnaden.

Jag tar gärna resten av diskussionen också, men så länge vi har den stora skillnaden i utgångspunkt kommer den skillnaden att påverka alla våra andra synpunkter om hur kalkylerna påverkas av att använda dygnsmedelvärdet (även om jag direkt och utan att tveka håller med om att användningen av en temperaturfördelningskurva förbättrar noggrannheten ytterligare).

Så textmässigt och inte matematiskt: I text är vi överens om att för en "tidsenhet" är skillnaden i behov samma sak som ursprungseffekt gånger COP-faktorn per grad gånger skillnaden i framledningstemperatur. Skall vi summera två "tidsenheter" blir det summan av två sådana produkter. Dår är mitt påstående att både den enkla skillnaden, och "två tidsenhetsskillnaden" och alla "fler tidsenhetsskillnader" kan uttryckas som summan av alla dessa termer (ursprungseffekten gånger COP-faktorn per grad gånger skillnaden i framledningstemperatur). Det vill säga att så länge vi gör dessa multiplikationer och summeringar dag för dag uppträder ingenstans i förhållandet till det ursprungliga effektbehovet en faktor som beror på kvadraten på skillnaden i framledningstemperatur, bara en faktor som beror på den linjära skillnaden i framledningstemperatur. Med det i basen påstår jag att så länge vi pratar om att summera dessa tal dag för dag, vad den matematiska formeln än blir, så blir den inte beroende på kvadraten av framledningens temperaturskillnad, bara på den linjära skillnaden. Vad är det som gör att du ser att summan av ett ändligt antal icke kvadratiska termer skall översättas matematiskt i en formel som summan av något som beror på kvadraten?

Om vi sedan går över till förvandlingen av summan till en integral som bevis för din kvadratteori måste jag ställa en fråga, som jag tror är väsentlig för att bli överens där. Är vi överens om att användningen av integralen är till för att matematiskt uttrycka arean under ytan som beskrivs av formeln för effektbehovsskillnaden i en given punkt gånger det infinitesimalt lilla deltat i tid, inte i temperatur , som uppstår varje gång vi flyttar oss tidsmässigt framåt? Totalarean vi vill få fram är effekten under hela tidsperioden, det vill säga summan av alla dessa punkter på kurvan gånger alla dessa infinitesimalt små steg framåt, från första tidpunkten till sista tidpunkten.

Om vi är det är vi ju överens om att vi skall integrera en funktion där "t" i dt står för tid, inte temperatur, varför vi pratar om formeln för funktion f(t) där t står för tiden, och inte för temperaturen. Då är vi också överens om att formeln för kurvan som vi integrerar arean under är en funktion av tiden och inte beskrivs med bland annat ett linjärt samband som beror på delta temperatur. Mitt intryck är att du i övergången till integral tankemässigt ser en kurvformel som har en komponent där du integrerar med avseende på temperaturen, vilket leder dig till att där hitta ett kvadratiskt samband som inte finns i den integral vi skulle kunna översätta summaformlerna till. För att följa ditt eget resonemang från en annan del, det är mer troligt att du integrerar en funktion som kan approximeras som en dygnsmässigt varierande sinusfunktion gånger en annan funktion över året, kanske en sinusfunktion till med längre period. Det är i mina ögon inte troligt du kan förenkla över denna produkt till ett kvadratiskt beroende på framledningstemperaturskillnaderna.
[/quote]

[Roland]

 För mig är den viktigaste frågan att bli överens om att om man tittar på ursprungligt behövd effekt och sedan justerar denna med en faktor som beror på framledningsskillnaden blir detta en faktor som är principiellt linjär mot skillnaden i temperatur, inte kvadratisk mot skillnaden.

Det är inte ursprungligt behövd effekt (vad är ursprungligt behövd effekt när man jämför två alternativ? Det går att räkna med antingen COPL eller COPH, det enda som händer är att C byter tecken) som det handlar om utan skillnaden i effektbehov mellan systemen. Det är därifrån ett DT kommer, det andra DT härrör från att effektbehovet ökar när utetemperaturen sjunker. Det gör att

El_H - El_L = k x DT/COP_Lx C x DT

som jag tidigare har visat.

Effektbehoven för systemen var för sig är däremot  proportionellt mot DT plus att det finns en relativt svag inverkan beroende på COP:s förändring med temperaturen från termen (1+ CxDT). Men det är inte de enskilda systemen resonemanget handlar om utan om differensen som gör att ettan i (1+CxDT) försvinner och lämnar kvar CxDT men där du sedan låter DT försvinna spårlöst.

Så textmässigt och inte matematiskt: I text är vi överens om att för en "tidsenhet" är skillnaden i behov samma sak som ursprungseffekt gånger COP-faktorn per grad gånger skillnaden i framledningstemperatur.

Nej, vi är inte  överens. Min version är  k x DT/COP_L x C x DT dvs effekt gånger COP-faktor per grad gånger skillnaden i framledningstemperatur gånger skillnaden i framledningstemperatur. Det du kallar ursprungseffekt är ingen konstant utan en variabel effektskillnad som är direkt proportionell mot DT.

Det vill säga att så länge vi gör dessa multiplikationer och summeringar dag för dag uppträder ingenstans i förhållandet till det ursprungliga effektbehovet en faktor som beror på kvadraten på skillnaden i framledningstemperatur, bara en faktor som beror på den linjära skillnaden i framledningstemperatur. Med det i basen påstår jag att så länge vi pratar om att summera dessa tal dag för dag, vad den matematiska formeln än blir, så blir den inte beroende på kvadraten av framledningens temperaturskillnad, bara på den linjära skillnaden.

Kvadraten behöver inte “uppträda” någonstans, den finns med från första början vilket jag trodde vi var överens om.

Om vi sedan går över till förvandlingen av summan till en integral som bevis för din kvadratteori ...

Det är inget bevis för min teori, integralen med (f(t))² är en logisk konsekvens av att jag har tidigare har bevisat att skillnaden i elförbrukning är proportionell mot (DT)².

Är vi överens om att användningen av integralen är till för att matematiskt uttrycka arean under ytan som beskrivs av formeln för effektbehovsskillnaden i en given punkt gånger det infinitesimalt lilla deltat i tid, inte i temperatur , som uppstår varje gång vi flyttar oss tidsmässigt framåt?

Ja, det är självklart. Vi integrerar en funktion som uttrycker skillnaden i effektbehov i kW över antalet timmar för att få kWh. Att använda temperaturen som integrationsvaribel ger kWgrader som resultat vilket helt saknar relevans. Det vi inte är överens om är utseendet på funktionen som skall integreras.

Totalarean vi vill få fram är effekten under hela tidsperioden, det vill säga summan av alla dessa punkter på kurvan gånger alla dessa infinitesimalt små steg framåt, från första tidpunkten till sista tidpunkten.

Totalarean är skillnaden i energibehov, effektfunktionen integrerad över tiden. Effekten är det vi startar med, den är inte resultatet beräkningen.

Om vi är det är vi ju överens om att vi skall integrera en funktion där "t" i dt står för tid, inte temperatur, varför vi pratar om formeln för funktion f(t) där t står för tiden, och inte för temperaturen.

Ja, t är tid, T är temperatur men temperaturskillnaden  DT varierar över tiden vilket med sedvanliga beteckningar blir DT = f(t). Obervera att det inte är DT i sig som är intressant.  DT är bara en proxyvariabel för hur

1.  husets effektbehov varierar med utetemperaturen och
2. hur skillnaden mellan COP för systemen varierar med effektbehovet.   

Därför är temperaturen som integrationsvariabel inte relevant. 

Mitt intryck är att du i övergången till integral tankemässigt ser en kurvformel som har en komponent där du integrerar med avseende på temperaturen, vilket leder dig till att där hitta ett kvadratiskt samband som inte finns i den integral vi skulle kunna översätta summaformlerna till.

Jag gör inga antaganden alls om hur f(t) ser ut. Det verkar som om du inte ser skillnaden mellan mellan (f(t))² och om f(t) innehåller kvadrater eller inte. Att det är( f(t))² som skall integreras är ju helt klart om vi vill beräkna skillnaden i energiförbrukning.

För att följa ditt eget resonemang från en annan del, det är mer troligt att du integrerar en funktion som kan approximeras som en dygnsmässigt varierande sinusfunktion gånger en annan funktion över året, kanske en sinusfunktion till med längre period. Det är i mina ögon inte troligt du kan förenkla över denna produkt till ett kvadratiskt beroende på framledningstemperaturskillnaderna.

Nej, jag integrerar kvadraten på en funktion som förmodligen ser ut som en sinuskurva med en periodlängd på ett dygn överlagrad på en sinusliknande kurva med en periodlängd på ett år. Återigen, skilj mellan (f(t))² och om f(t) innehåller kvadrattermer eller inte. f(t) kan se ut hur som helst, det förändrar inte mitt resonemang.

Det kvadratiska beroendet finns från början, det behövs inga förenklingar för att få det. Att f(t) i praktiken kommer att se ut ungefär som en sinuskurva saknar betydelse.

[Mats Bengtsson]

 För mig är den viktigaste frågan att bli överens om att om man tittar på ursprungligt behövd effekt och sedan justerar denna med en faktor som beror på framledningsskillnaden blir detta en faktor som är principiellt linjär mot skillnaden i temperatur, inte kvadratisk mot skillnaden.

Det är inte ursprungligt behövd effekt (vad är ursprungligt behövd effekt när man jämför två alternativ? Det går att räkna med antingen COPL eller COPH, det enda som händer är att C byter tecken) som det handlar om utan skillnaden i effektbehov mellan systemen. Det är därifrån ett DT kommer, det andra DT härrör från att effektbehovet ökar när utetemperaturen sjunker. Det gör att

El_H - El_L = k x DT/COP_Lx C x DT

som jag tidigare har visat.

Effektbehoven för systemen var för sig är däremot  proportionellt mot DT plus att det finns en relativt svag inverkan beroende på COP:s förändring med temperaturen från termen (1+ CxDT). Men det är inte de enskilda systemen resonemanget handlar om utan om differensen som gör att ettan i (1+CxDT) försvinner och lämnar kvar CxDT men där du sedan låter DT försvinna spårlöst.

Tack för ditt tålamod och dina tydliga utläggningar Roland, hoppas jag inte tänjt tålamodet för långt  . Jag tog min formel en annan väg, och jag har tänkt så mycket i mitt spår att det var först efter ditt sista svar som jag förstod att jag översätter dina termer till mina termer, och sedan uttrycker mig i mina termer, på ett sätt som dessutom är direkt felaktigt av mig, och som gör att vi inte förstår varandra.

Mitt mål har hela tiden varit att uttrycka effektbehovet som ursprungseffekt gånger en faktor, och den faktorn baserat på yttertemperatur. Så skrev jag mina formler, och så översätter jag dina formler. Jag ser först nu att denna skillnad i tankesätt aldrig är uttryckt av mig, det framgår bara av mina egna formler och mina verbala slutsatser från dina formler. Eftersom det inte är det sambandet du tittar efter så villar jag bort dig genom en kombination av terminologifel och sakfel trots att vi verkar så nära överenskommelse. Eländigt nog, när jag kollar noga nog, för det dessutom tillbaka den "T-term" jag hade över i nämnaren och som jag trodde du lyckats förenkla bort, den kommer när jag skapar den långa summan. Det innebär att jag går från att säga "linjärt" till "nästan linjärt", och inte rent kvadratiskt.

Vi har pratat om mer än ett T. Det finns inte bara två t:n i den här diskussionen, det finns faktiskt 3 t:n. Det delta T vi har i din formel är delta T för framledningen för en viss given dag i uppvärmingen, det vill säga för den yttertemperatur som jag har mitt fokus på. Enligt din formel är skillnaden i framledning en funktion av yttertemperaturen, och yttertemperaturen är min primära variabel). Låt mig därför efter denna förvirring bryta mot alla konventioner och kalla yttertemperaturen för U samt kasta in nya namn på ett par konstanter. Från dina förutsättningar vet vi att det är ett rent propotionellt samband mellan ditt DT och mitt U, det vill säga DT=F x U.

För att komma till total effektskillnad över tiden måste vi summera alla termer över tiden. Det vill säga summera alla termer k x DT/COP_Lx C x DT över tiden. Det är samma sak som att göra samma summa baserat på yttertemperaturen, det vill säga in med yttertemperaturen i formeln och vi får att vi skall summera alla dagar baserat på k x F x U/COP_Lx C x F x U. Återigen bryter jag ut den delen av formeln som blir totalt ursprungligt förbrukad effekt, men den här gången uttryckt i "U" och inte i "DT" (samma sak, andra konstanter). Den term jag bryter ut blir då inte kxDT/COP_L som jag tidigare skrivit, utan k x F/COP_L x (summan alla yttertemperaturer). Detta är det jag tidigare hävdat är urpsrungligt erforderlig effekt, där jag använder "L"-fallet som ursrprungsfallet (godtyckligt valt, H-fallet innebär bara ett annat tecken på C).

Det jag får kvar anser jag inte är ett kvadratiskt beroende på temperatur, utan ett i princip (men inte riktigt) linjärt beroende (och nu med konstanten C x F före). Det tråkiga är alltså att jag fått tillbaka den extra T-faktorn som jag trodde du fått bort (som kan anses leda till ett kvadratiskt beroende, men egentligen bara för mycket stora yttertemperaturer, och då värmer vi inte). Är det större chans att enas med den här formeln i botten, eller har jag tappat något igen?

Ändrat: Kompletterade med en PDF, bilden blev rätt dålig.
--- Mats ---

[Roland]

 Enligt din formel är skillnaden i framledning en funktion av yttertemperaturen, och yttertemperaturen är min primära variabel). Låt mig därför efter denna förvirring bryta mot alla konventioner och kalla yttertemperaturen för U samt kasta in nya namn på ett par konstanter. Från dina förutsättningar vet vi att det är ett rent propotionellt samband mellan ditt DT och mitt U, det vill säga DT=F x U.

Det du kallar yttertemperatur är egentligen innetemperatur minus yttertemperatur. Det blir inte direkt proportionalitet mellan variablen och effektbehov annars. Det inser man lätt om man frågar sig om U är i Kelvin eller grader Celsius. Är U en differens blir svaret att det spelar ingen roll. Är U en temperatur får man problem.

I stället för U skall det stå U_rum – U_ute eller DU eller något liknande. Det är en viktig skillnad för den fortsatta kalkylen eftersom det kommer att påverka din förenkling av av formeln. 

Jag har lite svårt att kommentera formlerna i fdf-filen. I tabellrad 3 dyker U_y upp som jag, med hänvisning till min kommentar ovan, inte vet vad det är. Vidareutvecklingen i tabellrad 4  ger ingen ledtråd, tvärtom. Uttrycket N x medeltemperaturen - utetemperaturen verkar konstigt. Saknas det inte en parentes runt temperaturerna?

Återigen bryter jag ut den delen av formeln som blir totalt ursprungligt förbrukad effekt, men den här gången uttryckt i "U" och inte i "DT" (samma sak, andra konstanter). Den term jag bryter ut blir då inte kxDT/COP_L som jag tidigare skrivit, utan k x F/COP_L x (summan alla yttertemperaturer). Detta är det jag tidigare hävdat är urpsrungligt erforderlig effekt, där jag använder "L"-fallet som ursrprungsfallet (godtyckligt valt, H-fallet innebär bara ett annat tecken på C).

I och med att U är vad det är, eller rättare sagt, inte är vad det påstås vara, har jag lite svårt att hänga med och kan inte kommentera. Jag blir dock lite orolig över uttrycket "bryter jag ut". Jag misstänker att det du gör är något i stil med (om vi låter S stå för ett integraltecken) S t²dt = S tdt x S tdt vilket inte är sant.

[Mats Bengtsson]

 Enligt din formel är skillnaden i framledning en funktion av yttertemperaturen, och yttertemperaturen är min primära variabel). Låt mig därför efter denna förvirring bryta mot alla konventioner och kalla yttertemperaturen för U samt kasta in nya namn på ett par konstanter. Från dina förutsättningar vet vi att det är ett rent propotionellt samband mellan ditt DT och mitt U, det vill säga DT=F x U.

Det du kallar yttertemperatur är egentligen innetemperatur minus yttertemperatur. Det blir inte direkt proportionalitet mellan variablen och effektbehov annars. Det inser man lätt om man frågar sig om U är i Kelvin eller grader Celsius. Är U en differens blir svaret att det spelar ingen roll. Är U en temperatur får man problem.

I stället för U skall det stå U_rum – U_ute eller DU eller något liknande. Det är en viktig skillnad för den fortsatta kalkylen eftersom det kommer att påverka din förenkling av av formeln. 

Jag har lite svårt att kommentera formlerna i fdf-filen. I tabellrad 3 dyker U_y upp som jag, med hänvisning till min kommentar ovan, inte vet vad det är. Vidareutvecklingen i tabellrad 4  ger ingen ledtråd, tvärtom. Uttrycket N x medeltemperaturen - utetemperaturen verkar konstigt. Saknas det inte en parentes runt temperaturerna?

Återigen bryter jag ut den delen av formeln som blir totalt ursprungligt förbrukad effekt, men den här gången uttryckt i "U" och inte i "DT" (samma sak, andra konstanter). Den term jag bryter ut blir då inte kxDT/COP_L som jag tidigare skrivit, utan k x F/COP_L x (summan alla yttertemperaturer). Detta är det jag tidigare hävdat är urpsrungligt erforderlig effekt, där jag använder "L"-fallet som ursrprungsfallet (godtyckligt valt, H-fallet innebär bara ett annat tecken på C).

I och med att U är vad det är, eller rättare sagt, inte är vad det påstås vara, har jag lite svårt att hänga med och kan inte kommentera. Jag blir dock lite orolig över uttrycket "bryter jag ut". Jag misstänker att det du gör är något i stil med (om vi låter S stå för ett integraltecken) S t²dt = S tdt x S tdt vilket inte är sant.

Rätt, det jag kallar yttertemperatur är egentligen yttertemperatur minus innetemperatur. Men är du säker på att det påverkar förenklingen av formeln? Man kan ju när man väl hittat formeln kunna ersätta U med differensen igen utan att påverka kalkylen, så det är bara om det leder till en föenkling som det är meningsfullt att stoppa in den i formeln.

Skälet till U_y är att för att undvika den felaktiga utbrytning du nämner för integralen, måste jag bryta ut summan av alla temperaturer från varje term som existerar. Om jag kallade termen i nämnaren (den inre summan i summaformeln) för U_x skulle jag blanda ihop två seriers beroenden, det är med andra ord samma U, med samma faktor, summerat över samma intervall, men den inre summan "snurrar" (summerar) oberoende av den yttre. Du kan göra dig trygg på det genom att tänka tvärtom, bryt ut konstanten N*medeltemperatur (och med ditt påpekande egentligen N*medeldiff av ute och innetemepratur). Det är en konstant med förutsättningen som är given (x varierar från 1 till N) och kan därför skrivas utanför summan, och termen finns kvar innanför summan.

Det är att dne inre summan snurrar oberoende av den yttre summan som leder till N x medeltemperaturen - utetemperaturen (den totala summan eftersom den blir linjär är samma som N*medeltemperaturen), men för varje faktor i den yttre summan skall den yttre summans U tas bort från den inre summan. N*medeltemperaturen är bara ett bekvämt sätt att skriva den inre summan utan att behålla summatecknet, samt ett sätt att se att termen beror på hela intervallet bortsett från den enskilda U som tas bort i varje post.

--- Mats ----