Det borde inte vara så svårt att få dit en rökhylla i efterhand, se bara till att den går att ta loss för sotning.
T ex ett par vinkeljärn fastsvetsade på kassettens sidor, eventuellt också ett i bakkant, och en 3 mm tjock plåt som får vila på dem.

Förresten, du har väl kollat att luckan tätar bra så att det inte blir en massa tjuvdrag runt den även med stängd draglucka?

Det är (eller skall) vara undertryck i skorstenen så ryka in kan(eller skall) det inte kunna göra. Däremot skulle mycket av värmen runt kaminen kunna följa med ut i otätheterna runt skorstensröret. Hade det suttit en fläkt på undersidan hade man kunnat gissa på en Wärmokassett av gammalt slag men med de "skåpluckehantag" som är monterade så......? Att verkningsgraden är usel syns på den nedre bilden. Här behövs en rejält tilltagen rökhylla som låter rökgaserna komma i kontakt med sidorna o taket på ett bättre sätt men för att minska  vedhögen med 3/4 och dessutom få en bekväm eldning så är ett byte till en ny kassett med ett genomtänkt förbränningssystem en bra investering.

Det är inte så att installationen är felaktigt gjord? T ex om det inte är tätat runt kassettens rökrör så att all luft som värms upp runt den går upp i skorstenen.
Kolla om det sitter en elfläkt någonstans innanför gallren nedtill och se i så fall till att den är inkopplad så att den kan köras när eldning pågår.

Om det finns flera dragluckor så kan det tänkas att meningen är att den ena av den (i så fall en som mynnar längst ned i eldstaden under rosten) bara ska vara öppen just när man tänder brasan, och möjligen i nödfall om man eldar stenkol eller mycket fuktig ved. När eldningen pågår normalt reglerar man i så fall draget med den övre luckan.

Ofta är den bästa eldningsmetoden för sådana där kassetter att lägga in en rejäl brasa och inte röra den förrän den har brunnit ut och bara glöd finns kvar, först då lägger man in nästa laddning. Om veden är fuktig och dålig kan det vara fördelaktigt att först lägga några få vedträn på glöden, längs med och nära varandra, sedan väntar man 10 minuter tills de brinner för fullt och först då lägger man in resten av laddningen. Vid fuktig ved får man räkna med att det inte blir mycket värme förrän brasan har brunnit så länge att alla vedträn har torkat och börjat kola.

Kassetten borde ha en typskylt någonstans men det kan tänkas att man måste ta loss något galler eller i värsta fall lyfta ut den för att hitta skylten. En annan möjlighet till identifiering, om ingen dokumentation finns i papperen du fick med huset, är att kolla med kommunens byggnadsnämnd om det finns några bygglovshandlingar från installationen.

Men, först som sist, kom ihåg att det alltid tar ett par vintrar innan man lär sig att komma överens med en vedspis, kamin eller vad det nu är.